​三角形余弦定理（三角形余弦定理面积公式）

三角形余弦定理（三角形余弦定理面积公式）

三角形余弦定理是什么

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

三角形余弦定理公式是什么?

三角形余弦定理公式是cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。

拓展知识

判定定理，两根判别法。若记m，c1,c2为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。

①若m（c1,c2）=2,则有两解。

②若m（c1,c2）=1,则有一解。

③若m（c1,c2）=0,则有零解即无解。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

什么是余弦定理

余弦定理指的是三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和，减去这两边与它们夹角的

余弦的积的2倍。

余弦定理的公式

余弦定理如下：

余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

余弦定理含义：

余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

以上内容参考 百度百科-余弦定理

三角形余弦定理是什么?

正弦:

A/sina=B/sinb=C/sinc=2R(A

B

C为角a

b

c所对的三边,R为三角形外切圆半径)

余弦:

cosα=(B^2+C^2-A^2)/2BC

cosb=(A^2+C^2-B^2)/2AC

cosc=(A^2+B^2-C^2)/2AB三角形ABC中

正弦定理

BC/sinA=AB/sinC=AC/sinB=ABC外接圆的直径

余弦定理

AB平方＝AC平方+BC平方-2*AC*BC*cosC

BC平方＝AC平方+AB平方-2*AC*BC*cosA

AC平方＝AB平方+BC平方-2*AC*BC*cosB

三角形余弦定理

余弦定理（第二余弦定理）

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

编辑本段

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——

a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

编辑本段

余弦定理证明

平面向量证法

∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）  ∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

（以上粗体字符表示向量）

又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

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作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

判定定理二(角边判别法):

一当absinA时

①当ba且cosA0(即A为锐角)时，则有两解

②当ba且cosA=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

③当b=a且cosA0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

⑤当ba时，则有一解

二当a=bsinA时

①当cosA0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)

三当absinA时,则有零解(即无解)

解三角形公式例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7. (注：cos60=0.5,可以用计算器算）

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

编辑本段

其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。

30°45°60°

Sin1/2√2/2√3/2

Cos√3/2√2/21/2

Tan√3/31√3

三角形余弦定理