​分部积分法公式(分部积分法公式及其应用)

分部积分法公式(分部积分法公式及其应用)

分部积分法是微积分中常用的一种方法，它可以用于计算一些特定的积分，特别是含有多项式、指数函数、三角函数等组合的积分。本文将详细介绍分部积分法公式的推导及其应用。

一、分部积分法公式的推导

分部积分法公式的推导基于积分的乘法法则，即：

$$(uv)'=u'v+uv'$$

将上式两边同时积分，可得：

$$\int (uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx$$

即：

$$uv=\int u'vdx+\int uv'dx$$

将上式移项，可得：

$$\int uv'dx=uv-\int u'vdx$$

这就是分部积分法公式。

二、分部积分法公式的应用

分部积分法公式的应用需要注意以下几点：

1. 选择合适的$u$和$v'$，通常选择$u$为含有三角函数、指数函数、对数函数等的因子，$v'$为多项式；

2. 重复使用分部积分法，直到积分变得容易计算或者无法再进行分部积分为止；

3. 当积分区间为$[a,b]$时，应该在计算后加上边界值$F(b)-F(a)$。

下面以几个例子来说明分部积分法的应用：

例1

计算$\int x\sin xdx$。

解：选择$u=x$，$v'=\sin x$，则$u'=1$，$v=-\cos x$。代入分部积分法公式，可得：

$$\int x\sin xdx=-x\cos x-\int (-\cos x)dx=-x\cos x+\sin x+C$$

其中$C$为常数。

例2

计算$\int x^2e^xdx$。

解：选择$u=x^2$，$v'=e^x$，则$u'=2x$，$v=e^x$。代入分部积分法公式，可得：

$$\int x^2e^xdx=x^2e^x-\int 2xe^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$$

例3

计算$\int \ln xdx$。

解：选择$u=\ln x$，$v'=1$，则$u'=\frac{1}{x}$，$v=x$。代入分部积分法公式，可得：

$$\int \ln xdx=x\ln x-\int \frac{1}{x}xdx=x\ln x-x+C$$

三、总结

分部积分法是微积分中重要的一种方法，它可以用于计算一些特定的积分。在应用分部积分法时，需要选择合适的$u$和$v'$，并重复使用分部积分法，直到积分变得容易计算或者无法再进行分部积分为止。